דמיון משולשים לכיתה י׳ · 4 יח״ל
בנושא דמיון משולשים בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים משפטי הדמיון, צלעות מתאימות, יחס הדמיון וקטעים מיוחדים, דמיון בשרטוט ומיחס השטחים ליחס הצלעות. שני משולשים דומים כשהזוויות שלהם שוות בהתאמה והצלעות המתאימות שלהם פרופורציוניות. כדי להוכיח דמיון מספיק אחד משלושה משפטים: שתי זוויות שוות (ז.ז), שלוש צלעות פרופורציוניות (צ.צ.צ), או שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה (צ.ז.צ). זווית שאינה בין שתי הצלעות אינה מספיקה.
היחס בין צלעות מתאימות הוא יחס הדמיון. באותו יחס עומדים גם ההיקפים, וגם התיכונים, הגבהים וחוצי הזוויות המתאימים. השטחים עומדים ביחס של ריבוע יחס הדמיון: כשהיחס בין הצלעות הוא שתיים לשלוש, היחס בין השטחים הוא ארבע לתשע. לכן מיחס השטחים מוצאים את יחס הדמיון בהוצאת שורש. הוכחה לדוגמה: ישר מקביל לצלע אחת של משולש חותך את שתי הצלעות האחרות. הזווית שבקודקוד משותפת לשני המשולשים, והזוויות שליד הישר המקביל שוות כזוויות מתאימות בין מקבילים. לכן לפי ז.ז המשולש הקטן דומה למשולש הגדול.
טיפ: סמנו באותו צבע את הזוויות השוות: כך רואים מיד אילו צלעות מתאימות זו לזו.
מה לומדים בנושא
משפטי הדמיון
לדוגמה: במשולשים ΔABC, ΔDEF נתון: ∢B = ∢E = 60°, ∢A = ∢D = 75° . לפי איזה משפט המשולשים דומים?
- ז.ז
- צ.צ.צ
- צ.ז.צ
- אין מספיק נתונים
תשובה ופתרון
התשובה: זווית זווית
שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז.
צלעות מתאימות
לדוגמה: המשולשים ΔABC ∼ ΔDEF דומים. יחס הדמיון הוא AB : DE = 2 : 3 . נתון (בס״מ): DE = 12 . מה אורך הצלע AB ?
תשובה ופתרון
התשובה: 8 ס״מ
הצלעות DE, AB מתאימות, ולכן AB = 12 · 2/3 = 8 . אורך הצלע 8 ס״מ.
יחס הדמיון וקטעים מיוחדים
לדוגמה: המשולש DEF דומה למשולש ABC , ויחס הדמיון DE : AB הוא 5/2 . ההיקף של המשולש ABC הוא 16 ס״מ. מה ההיקף של המשולש DEF ?
תשובה ופתרון
התשובה: 40 ס״מ
ההיקפים עומדים ביחס הדמיון: 16 · 5/2 = 40 . ההיקף 40 ס״מ.
דמיון בשרטוט
לדוגמה: בציור DE ∥ BC . נתון (בס״מ): AD = 2, DB = 6, BC = 24 . מה אורך הקטע DE ?
תשובה ופתרון
התשובה: 6 ס״מ
המשולשים דומים: ΔADE ∼ ΔABC . הצלע AB = 2 + 6 = 8 , ויחס הדמיון: AD : AB = 2 : 8 = 1 : 4 . לכן DE = 24 : 4 = 6 . אורך הקטע הוא 6 ס״מ.
מיחס השטחים ליחס הצלעות
לדוגמה: המשולשים ΔABC ∼ ΔDEF דומים. השטח של המשולש ABC הוא 9 סמ״ר, והשטח של המשולש DEF הוא 36 סמ״ר. נתון DE = 12 ס״מ. מה אורך הצלע AB ?
תשובה ופתרון
התשובה: 6 ס״מ
יחס השטחים: 9 : 36 = 1 : 4 . יחס הדמיון הוא השורש שלו: AB : DE = √1 : √4 = 1 : 2 . לכן AB = 12 : 2 = 6 . האורך 6 ס״מ.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת משפטי הדמיון · הוכחות בעזרת דמיון · דמיון של מצולעים כלליים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).