# הסתברות לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> הסתברות לכיתה י׳ · 4 יח״ל: מאורעות, חוקי ההסתברות, דיאגרמת ון, הסתברות מותנית, טבלת הסתברויות ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא הסתברות בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים מאורעות, חוקי ההסתברות, דיאגרמת ון, הסתברות מותנית, טבלת הסתברויות, עץ הסתברויות, הסתברות שלמה ונוסחת בייס ומאורעות בלתי תלויים.

ההסתברות של מאורע היא מספר בין אפס לאחת. ההסתברות של המאורע המשלים היא אחת פחות ההסתברות של המאורע. כשמאורעות זרים, כלומר אינם יכולים לקרות יחד, ההסתברות שיקרה אחד מהם היא סכום ההסתברויות. כשהם אינם זרים, מחסירים את ההסתברות שיקרו שניהם, כי היא נספרה פעמיים.

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כשידוע שמאורע אחר קרה: מחלקים את ההסתברות ששניהם קורים בהסתברות של המאורע הידוע. בטבלה רואים זאת כשמסתכלים רק על השורה או העמודה של המאורע הידוע, ובעץ זו ההסתברות שעל הענף השני. כשיודעים את ההסתברויות המותנות ורוצים את ההפוכה, מחשבים קודם את ההסתברות השלמה, ואז מחלקים.

שני מאורעות בלתי תלויים כשהידיעה שאחד קרה אינה משנה את ההסתברות של השני. בודקים זאת באחת משלוש דרכים שקולות: ההסתברות של שניהם יחד שווה למכפלת ההסתברויות, או שההסתברות המותנית שווה להסתברות הרגילה, באחד הכיוונים.

**טיפ:** כתבו במילים מה ידוע ומה שואלים, לפני שבוחרים נוסחה: המילה "בהינתן" אומרת שזו הסתברות מותנית.

## מה לומדים בנושא

### מאורעות

- דוגמה: (לוח ריבועי מחולק ל־100 משבצות שוות, ועליו מלבן צבוע) חץ נופל באקראי על הלוח, ויכול לפגוע בכל נקודה בו באותו סיכוי. מה ההסתברות שהחץ יפגע באזור הצבוע?
- תשובה: 1/10
- פתרון: המשבצות הצבועות: 2 · 5 = 10 . בכל הלוח: 10 · 10 = 100 . ההסתברות: 10/100 = 1/10

### חוקי ההסתברות

- דוגמה: כל תלמיד בשכבה בחר צבע אהוב אחד. בוחרים תלמיד באקראי. ההסתברות שהתלמיד בחר באדום היא 0.4 ובכחול 0.1 . מה ההסתברות שהתלמיד בחר באדום או בכחול?
- תשובה: 0.5
- פתרון: כל תלמיד בחר צבע אחד בלבד, ולכן המאורעות זרים, ומחברים: 0.4 + 0.1 = 0.5

### דיאגרמת ון

- דוגמה: בכיתה יש 25 תלמידים. הדיאגרמה מראה כמה מהם משחקים כדורגל, כמה כדורסל, כמה את שניהם וכמה אף אחד מהם. (דיאגרמת ון: מספר התלמידים שמשחקים כדורגל, כדורסל, את שניהם או אף אחד מהם) בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהתלמיד משחק גם כדורגל וגם כדורסל? כתבו את התשובה כשבר.
- תשובה: 12/25
- פתרון: בחיתוך של שני העיגולים יש 12 תלמידים, ולכן ההסתברות היא 12/25

### הסתברות מותנית

- דוגמה: בטבלה מספר התלמידים בשכבה לפי הדרך שבה הגיעו לבית הספר ולפי אם הגיעו בזמן. (טבלה: תלמידים לפי הדרך לבית הספר ולפי אם הגיעו בזמן) בוחרים תלמיד באקראי. ידוע שהתלמיד הגיע בזמן. מה ההסתברות שהגיע באוטובוס? כתבו את התשובה כשבר.
- תשובה: 1/2
- פתרון: מסתכלים רק על עמודת התלמידים שהגיעו בזמן: 5 + 5 = 10 . מהם באוטובוס 5 , ולכן ההסתברות היא 5/10 = 1/2

### טבלת הסתברויות

- דוגמה: (טבלת התוצאות: השורות לפי הסביבון הראשון, העמודות לפי השני, ובכל משבצת הסכומים) סביבון ראשון מחולק ל־4 חלקים שווים, ממוספרים 1 עד 4. סביבון שני מחולק ל־4 חלקים שווים, ממוספרים 1 עד 4. מסובבים את שני הסביבונים. מה ההסתברות שסכום שני המספרים יהיה 3?
- תשובה: 1/8
- פתרון: מספר כל התוצאות: 4 · 4 = 16 . התוצאות הרצויות: (1, 2) , (2, 1) : 2 תוצאות. ההסתברות: 2/16 = 1/8

### עץ הסתברויות

- דוגמה: בשקית 6 כדורים אדומים ו־2 כדורים כחולים. מוציאים כדור, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית. אחר כך מוציאים כדור שני. מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו אדומים?
- תשובה: 9/16
- פתרון: בשלב הראשון יש בשקית 8 כדורים, ומהם 6 אדומים, ולכן ההסתברות לכדור אדום היא 6/8 . בשלב השני הכדור כבר הוחזר, ולכן ההסתברות היא שוב 6/8 . כופלים לאורך הענף: 6/8 · 6/8 = 36/64 = 9/16

### הסתברות שלמה ונוסחת בייס

- דוגמה: במפעל שתי מכונות מייצרות את כל הפריטים. בוחרים פריט באקראי. (טבלה: החלק של כל מכונה בייצור והסיכוי שפריט שלה פגום) מה ההסתברות שהפריט פגום?
- תשובה: 0.034
- פתרון: מחברים את שני הענפים: 0.2 · 0.09 + 0.8 · 0.02 = 0.018 + 0.016 = 0.034

### מאורעות בלתי תלויים

- דוגמה: המאורע A והמאורע B בלתי תלויים. נתון: P(A) = 0.2 וגם P(B) = 0.9 . מצאו את P(A ∩ B) .
- תשובה: 0.18
- פתרון: P(A ∩ B) = 0.2 · 0.9 = 0.18

## עוד לא באתר

- הוכחת השקילות של שלוש ההגדרות
- ניסויים אמפיריים
- הסתברות גאומטרית

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)