בעיות קיצון לכיתה י׳ · 4 יח״ל

התשובה: 49

המספר האחד הוא x , והשני 14 − x . המכפלה: f(x) = x(14 − x) = −x² + 14x התחום: 0 < x < 14 f′(x) = −2x + 14 = 0 x = 7 כאשר x < 7 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 7 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. המכפלה הגדולה ביותר: f(7) = 7 · 7 = 49

התשובה: 16

צלע אחת היא x , והצלע השנייה 8 − x . השטח: S(x) = x(8 − x) = −x² + 8x התחום: 0 < x < 8 S′(x) = −2x + 8 = 0 x = 4 כאשר x < 4 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 4 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. המלבן הוא ריבוע, והשטח הגדול ביותר: S(4) = 4 · 4 = 16

התשובה: (−3, 3)

המרחק הוא הקטן ביותר כאשר הריבוע שלו הוא הקטן ביותר, ולכן מחפשים מינימום של ריבוע המרחק: f(x) = x² + (x + 6)² = 2x² + 12x + 36 התחום: כל מספר. f′(x) = 4x + 12 = 0 x = −3 כאשר x < −3 הנגזרת שלילית, וכאשר x > −3 היא חיובית. זו נקודת מינימום. y = 3 . הנקודה: (−3, 3)

התשובה: 20

התחום: x > 0 P′(x) = −2x + 40 = 0 x = 20 כאשר x < 20 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 20 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. הרווח הגדול ביותר מתקבל כאשר מייצרים 20 מוצרים.

התשובה: −11

f′(x) = −2x + 2 = 0 x = 1 . הנקודה הזאת מחוץ לקטע, ולכן הפונקציה עולה או יורדת בכל הקטע, והערך הגדול ביותר באחד הקצוות: f(−5) = −31 f(−3) = −11 . הערך הגדול ביותר הוא −11 .