# בעיות קיצון לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> בעיות קיצון לכיתה י׳ · 4 יח״ל: קיצון במספרים, קיצון בגאומטריה, קיצון על גרפים, קיצון בכלכלה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא בעיות קיצון בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים קיצון במספרים, קיצון בגאומטריה, קיצון על גרפים, קיצון בכלכלה וקיצון בתחום סגור.

בעיית קיצון פותרים בחמישה צעדים: בוחרים משתנה, כותבים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה שלו, קובעים את התחום, גוזרים ומשווים לאפס, ובודקים גם את קצות התחום. התשובה היא הגודל שהשאלה שואלת עליו, לא תמיד המשתנה.

לדוגמה: מלבן שהיקפו 20. אם צלע אחת היא איקס, הצלע השנייה היא עשר פחות איקס, והשטח הוא איקס כפול עשר פחות איקס. הנגזרת היא עשר פחות פעמיים איקס, והיא מתאפסת באיקס שווה חמש. משמאל לחמש הנגזרת חיובית ומימין שלילית, ולכן זה מקסימום: השטח הגדול ביותר הוא 25.

**טיפ:** כתבו במילים מה רוצים להגדיל או להקטין, לפני שכותבים פונקציה.

## מה לומדים בנושא

### קיצון במספרים

- דוגמה: סכומם של שני מספרים חיוביים הוא 14 . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?
- תשובה: 49
- פתרון: המספר האחד הוא x , והשני 14 − x . המכפלה: f(x) = x(14 − x) = −x² + 14x התחום: 0 < x < 14 f′(x) = −2x + 14 = 0 x = 7 כאשר x < 7 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 7 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. המכפלה הגדולה ביותר: f(7) = 7 · 7 = 49

### קיצון בגאומטריה

- דוגמה: היקפו של מלבן הוא 16 . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
- תשובה: 16
- פתרון: צלע אחת היא x , והצלע השנייה 8 − x . השטח: S(x) = x(8 − x) = −x² + 8x התחום: 0 < x < 8 S′(x) = −2x + 8 = 0 x = 4 כאשר x < 4 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 4 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. המלבן הוא ריבוע, והשטח הגדול ביותר: S(4) = 4 · 4 = 16

### קיצון על גרפים

- דוגמה: איזו נקודה על הישר y = x + 6 הכי קרובה לראשית הצירים?
- תשובה: (−3, 3)
- פתרון: המרחק הוא הקטן ביותר כאשר הריבוע שלו הוא הקטן ביותר, ולכן מחפשים מינימום של ריבוע המרחק: f(x) = x² + (x + 6)² = 2x² + 12x + 36 התחום: כל מספר. f′(x) = 4x + 12 = 0 x = −3 כאשר x < −3 הנגזרת שלילית, וכאשר x > −3 היא חיובית. זו נקודת מינימום. y = 3 . הנקודה: (−3, 3)

### קיצון בכלכלה

- דוגמה: הרווח של מפעל מייצור ומכירה של x מוצרים הוא P(x) = −x² + 40x − 30 . כמה מוצרים צריך לייצר כדי שהרווח יהיה הגדול ביותר?
- תשובה: 20
- פתרון: התחום: x > 0 P′(x) = −2x + 40 = 0 x = 20 כאשר x < 20 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 20 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. הרווח הגדול ביותר מתקבל כאשר מייצרים 20 מוצרים.

### קיצון בתחום סגור

- דוגמה: מצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה f(x) = −x² + 2x + 4 בקטע −5 ≤ x ≤ −3 .
- תשובה: −11
- פתרון: f′(x) = −2x + 2 = 0 x = 1 . הנקודה הזאת מחוץ לקטע, ולכן הפונקציה עולה או יורדת בכל הקטע, והערך הגדול ביותר באחד הקצוות: f(−5) = −31 f(−3) = −11 . הערך הגדול ביותר הוא −11 .

## עוד לא באתר

- ניסוח הפונקציה מתוך סיפור פתוח
- בעיות קיצון עם משולשים במעגל
- בעיות קיצון בטריגונומטריה

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)