# משוואות ואי־שוויונות לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> משוואות ואי־שוויונות לכיתה י׳ · 4 יח״ל: משוואות ממעלה ראשונה, משוואות ריבועיות, מערכת של ישר ופרבולה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא משוואות ואי־שוויונות בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים משוואות ממעלה ראשונה, משוואות ריבועיות, מערכת של ישר ופרבולה, מספר הפתרונות, אי־שוויונות, השוואת פונקציות, משוואות עם שברים אלגבריים, משוואות עם שורש ומשוואות דו־ריבועיות.

פתרון של משוואה הוא ערך שהופך אותה לאמת, ופתרון של אי־שוויון הוא קבוצה של ערכים. משוואה ריבועית פותרים בנוסחת השורשים, והביטוי שמתחת לשורש, הדיסקרימיננטה, קובע כמה פתרונות יש: כשהיא חיובית יש שניים, כשהיא אפס יש אחד, וכשהיא שלילית אין אף אחד. אי־שוויון ריבועי פותרים בעזרת הפרבולה: מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר האיקס ובודקים איפה הגרף מעל הציר או מתחתיו.

הפתרון של מערכת משוואות הוא נקודות החיתוך של הגרפים. כשמשווים שתי פונקציות, השאלה איפה האחת גדולה מהשנייה היא השאלה איפה ההפרש ביניהן חיובי. במשוואה עם שברים אלגבריים כופלים במכנה המשותף, ובסוף בודקים שהפתרון אינו מאפס מכנה.

במשוואה עם שורש מבודדים את השורש, מעלים בריבוע, ובודקים כל פתרון במשוואה המקורית, כי ההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שאינו נכון. במשוואה דו־ריבועית מציבים משתנה חדש במקום הריבוע, פותרים משוואה ריבועית, וחוזרים: משתנה חדש שלילי אינו נותן פתרון.

**טיפ:** בסוף כל משוואה הציבו את הפתרון בחזרה. זה לוקח רגע אחד ותופס את רוב הטעויות.

## מה לומדים בנושא

### משוואות ממעלה ראשונה

- דוגמה: פתרו את המשוואה: 6(x + 5) = −3(x + 3) + 39
- תשובה: 0
- פתרון: פותחים את הסוגריים: 6x + 30 = −3x − 9 + 39 מכנסים איברים דומים: 6x + 30 = −3x + 30 מעבירים את האיברים עם הנעלם לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני: 9x = 0 מחלקים את שני האגפים ב־9: x = 0

### משוואות ריבועיות

- דוגמה: פתרו: x² − 2x − 63 = 0
- תשובה: x = 9 או x = −7
- פתרון: הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−2)² − 4 · 1 · (−63) = 256 √256 = 16 x = (2 + 16) : 2 = 9 x = (2 − 16) : 2 = −7

### מערכת של ישר ופרבולה

- דוגמה: נתונה מערכת המשוואות: y = x² + 2x − 3 y = −5x − 15 מצאו את ערכי x של נקודות החיתוך של הפרבולה והישר.
- תשובה: x = −4 או x = −3
- פתרון: משווים את שני הביטויים של y : x² + 2x − 3 = −5x − 15 מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: x² + 7x + 12 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: 7² − 4 · 1 · 12 = 1 √1 = 1 x = (−7 + 1) : 2 = −3 x = (−7 − 1) : 2 = −4

### מספר הפתרונות

- דוגמה: בלי לפתור: כמה פתרונות יש למשוואה? 3x² − 7x + 10 = 0
- תשובה: 0
- פתרון: הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−7)² − 4 · 3 · 10 = −71 הביטוי שלילי, ולכן אין למשוואה פתרון. מספר הפתרונות: 0

### אי־שוויונות

- דוגמה: פתרו את אי־השוויון: (x + 7) : 4 ≥ −4
- תשובה: x ≥ −23
- פתרון: כופלים את שני האגפים ב־4. המספר חיובי, ולכן הסימן נשאר: x + 7 ≥ −16 מחסירים 7 משני האגפים: x ≥ −23 הפתרון: x ≥ −23

### השוואת פונקציות

- דוגמה: בציור מופיעים הפרבולה y = x² + 2x − 2 והישר y = x . עבור אילו ערכים של x הישר נמצא מעל הפרבולה? (פרבולה וישר שנחתכים בשתי נקודות)
- אפשרויות: איקס קטן ממינוס שתיים או איקס גדול מאחת x < −2 או x > 1 · כל מספר · אין פתרון · מינוס שתיים קטן מאיקס קטן מאחת −2 < x < 1
- תשובה: מינוס שתיים קטן מאיקס קטן מאחת
- פתרון: מוצאים את נקודות החיתוך: משווים את שני הביטויים של y : x² + 2x − 2 = x מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: x² + x − 2 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: 1² − 4 · 1 · (−2) = 9 √9 = 3 x = (−1 + 3) : 2 = 1 x = (−1 − 3) : 2 = −2 בציור רואים שהישר מעל הפרבולה רק בין נקודות החיתוך. הפתרון: −2 < x < 1

### משוואות עם שברים אלגבריים

- דוגמה: פתרו: 45 : x = 5
- תשובה: 9
- פתרון: אסור להציב x = 0 . כופלים את שני האגפים במכנה x : 45 = 5x x = 9 הפתרון מותר: הוא אינו מאפס אף מכנה.

### משוואות עם שורש

- דוגמה: פתרו את המשוואה: √(x + 43) = 6
- תשובה: −7
- פתרון: מעלים את שני האגפים בריבוע: x + 43 = 36 x = −7 בדיקה: √36 = 6 . מתאים.

### משוואות דו־ריבועיות

- דוגמה: הציבו t = x² במשוואה, ומצאו את הערך הגדול של t : x⁴ − 8x² − 48 = 0
- תשובה: 12
- פתרון: מציבים t = x² : t² − 8t − 48 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−8)² − 4 · 1 · (−48) = 256 √256 = 16 t = (8 + 16) : 2 = 12 t = (8 − 16) : 2 = −4 הערך הגדול: t = 12

## עוד לא באתר

- משוואות ממעלה שלישית
- מערכת של שתי משוואות ריבועיות עם מכפלת המשתנים
- אי־שוויונות עם שברים אלגבריים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)