פונקציית השורש והנגזרת שלה לכיתה י׳ · 4 יח״ל
בנושא פונקציית השורש והנגזרת שלה בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים תחום ההגדרה של שורש, הנגזרת של שורש, משיק לגרף של שורש, חקירה של פונקציית שורש ופרמטר בפונקציית שורש. פונקציית השורש מוגדרת היכן שהביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי, והגרף שלה מתחיל בנקודה שבה הביטוי מתאפס. הנגזרת של שורש איקס היא אחת חלקי פעמיים שורש איקס; את הכלל הזה מקבלים ולא מוכיחים. כשמתחת לשורש יש ביטוי, כופלים בנגזרת של הביטוי.
משיק לגרף של שורש מוצאים כמו בכל פונקציה: השיפוע הוא הנגזרת בנקודה. בשאלות כאן הביטוי שמתחת לשורש הוא ריבוע שלם בנקודה המבוקשת, ולכן התשובות הן שברים מדויקים. כדי לחקור פונקציית שורש מתחילים בתחום ההגדרה, ומחפשים קיצון היכן שהנגזרת מתאפסת או בקצה התחום.
טיפ: התחילו תמיד בתחום ההגדרה: הוא אומר איפה הגרף מתחיל, ואיזה פתרון לפסול.
מה לומדים בנושא
תחום ההגדרה של שורש
לדוגמה: מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √(x − 6) .
תשובה ופתרון
התשובה: x ≥ 6
הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי: x − 6 ≥ 0 x ≥ 6
הנגזרת של שורש
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = √(x − 5) . מצאו את f′(6) .
תשובה ופתרון
התשובה: 1/2
f′(x) = 1 : (2√(x − 5)) כאשר x = 6 הביטוי שמתחת לשורש שווה 1 : f′(6) = 1 : (2 · 1) = 1/2
משיק לגרף של שורש
לדוגמה: מצאו את השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה f(x) = √x בנקודה שבה x = 25 .
תשובה ופתרון
התשובה: 1/10
f′(x) = 1 : (2√x) m = f′(25) = 1 : (2√25) = 1 : (2 · 5) = 1/10
חקירה של פונקציית שורש
לדוגמה: באיזו נקודה מתחיל הגרף של הפונקציה f(x) = 3 − √(x + 3) ?
תשובה ופתרון
התשובה: (−3, 3)
הפונקציה מוגדרת כאשר x ≥ −3 . הגרף מתחיל בקצה התחום: f(−3) = 3 . הנקודה: (−3, 3)
פרמטר בפונקציית שורש
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = √(kx − 1) . נתון גם f(5) = 2 . מצאו את k .
תשובה ופתרון
התשובה: 1
√(5k − 1) = 2 מעלים בריבוע: 5k − 1 = 4 5k = 5 k = 1
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט סקיצה · הקלדת נגזרת עם שורש · שורש של פולינום ממעלה גבוהה משתיים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).