הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית לכיתה י׳ · 4 יח״ל

בנושא הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים קצב שינוי ממוצע, הנגזרת בנקודה, כללי הגזירה, גזירה של פונקציה מורכבת, משיק לגרף, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים וסימן, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת ומציאת פרמטר. קצב השינוי הממוצע של פונקציה בין שתי נקודות הוא השיפוע של המיתר שמחבר אותן. כשמקרבים את הנקודה השנייה לראשונה, המיתרים מתקרבים למשיק, והשיפוע שלהם מתקרב לנגזרת בנקודה. הנגזרת של איקס בחזקת אן היא אן כפול איקס בחזקת אן פחות אחת, הנגזרת של מספר קבוע היא אפס, וגוזרים כל איבר בנפרד.

משוואת המשיק בנקודה: השיפוע הוא הנגזרת בנקודה, ועם הנקודה עצמה מקבלים את משוואת הישר. היכן שהנגזרת חיובית הפונקציה עולה, היכן שהיא שלילית הפונקציה יורדת. בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן: מחיובי לשלילי זו נקודת מקסימום, משלילי לחיובי נקודת מינימום. כדי לחקור פונקציה מוצאים את תחום ההגדרה, את נקודות החיתוך עם הצירים, את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה. בתחום סגור, הערך הגדול ביותר נמצא בנקודת קיצון או באחד הקצוות.

טיפ: כשהנגזרת מתאפסת, בדקו את הסימן שלה משני הצדדים. אפס לבד עוד לא אומר שיש קיצון.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

קצב שינוי ממוצע

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −4x + 6 . מצאו את קצב השינוי הממוצע שלה בקטע −2 ≤ x ≤ 0 .

תשובה ופתרון

התשובה: −4

f(0) = 6 f(−2) = 14 (6 − 14) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4 לפונקציה קווית יש קצב קבוע בכל קטע: השיפוע שלה.

הנגזרת בנקודה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 5 . מצאו את f′(2) .

תשובה ופתרון

התשובה: −6

גוזרים כל איבר: f′(x) = −6x + 6 f′(2) = −6 · 2 + 6 = −6

כללי הגזירה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −4x² + 8x − 7 . מצאו את הנגזרת שלה.

תשובה ופתרון

התשובה: −8x + 8

גוזרים כל איבר בנפרד: f′(x) = −8x + 8

גזירה של פונקציה מורכבת

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (2x + 5)² . מצאו את הנגזרת שלה.

תשובה ופתרון

התשובה: 8x + 20

גוזרים את הריבוע, וכופלים בנגזרת של הביטוי שבסוגריים: f′(x) = 2(2x + 5) · 2 = 8x + 20

משיק לגרף

לדוגמה: מצאו את השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 5 בנקודה שבה x = 0 .

תשובה ופתרון

התשובה: 6

f′(x) = −6x + 6 m = f′(0) = −6 · 0 + 6 = 6

נקודות קיצון

לדוגמה: מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) = x² − 6x + 4 .

תשובה ופתרון

התשובה: (3, −5)

f′(x) = 2x − 6 = 0 x = 3 כאשר x < 3 הנגזרת שלילית, וכאשר x > 3 היא חיובית. זו נקודת מינימום: f(3) = 3² − 6 · 3 + 4 = −5 (3, −5)

תחומי עלייה וירידה

לדוגמה: באיזה תחום הפונקציה f(x) = −2x² − 12x עולה ?

תשובה ופתרון

התשובה: איקס קטן ממינוס שלוש

f′(x) = −4x − 12 = 0 x = −3 כאשר x < −3 הנגזרת חיובית, וכאשר x > −3 היא שלילית. לכן הפונקציה עולה: x < −3 .

חיתוך עם הצירים וסימן

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x + 3)²(x − 4) . מצאו את נקודות האפס שלה, הערכים של x שבהם f(x) = 0 .

תשובה ופתרון

התשובה: x = −3 או x = 4

x + 3 = 0 או x − 4 = 0 . לכן x = −3 או x = 4 . בנקודה x = −3 הגורם מופיע בריבוע, ולכן הגרף רק נוגע בציר שם ואינו חוצה אותו.

גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

לדוגמה: בציור הראשון מופיע הגרף של הפונקציה y = f(x) . איזה מהגרפים שאחריו הוא הגרף של הנגזרת שלה?

גרף א: גרף ב:

תשובה ופתרון

התשובה: גרף א

הפרבולה יורדת עד הקודקוד ועולה אחריו. לכן הנגזרת שלילית לפני הקודקוד, שווה ל־0 בקודקוד וחיובית אחריו: ישר עולה שחותך את הציר האופקי כאשר x = 2 . זה גרף א .

מציאת פרמטר

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + kx . נתון גם f′(3) = −23 . מצאו את k .

תשובה ופתרון

התשובה: −5

f′(x) = −6x + k f′(3) = −6 · 3 + k = −23 −18 + k = −23 k = −5

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט סקיצה · נגזרת שנייה · גזירה לפי ההגדרה עם גבול · פונקציה מורכבת ביותר משני שלבים.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←