# הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית לכיתה י׳ · 4 יח״ל: קצב שינוי ממוצע, הנגזרת בנקודה, כללי הגזירה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים קצב שינוי ממוצע, הנגזרת בנקודה, כללי הגזירה, גזירה של פונקציה מורכבת, משיק לגרף, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים וסימן, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת ומציאת פרמטר.

קצב השינוי הממוצע של פונקציה בין שתי נקודות הוא השיפוע של המיתר שמחבר אותן. כשמקרבים את הנקודה השנייה לראשונה, המיתרים מתקרבים למשיק, והשיפוע שלהם מתקרב לנגזרת בנקודה. הנגזרת של איקס בחזקת אן היא אן כפול איקס בחזקת אן פחות אחת, הנגזרת של מספר קבוע היא אפס, וגוזרים כל איבר בנפרד.

משוואת המשיק בנקודה: השיפוע הוא הנגזרת בנקודה, ועם הנקודה עצמה מקבלים את משוואת הישר. היכן שהנגזרת חיובית הפונקציה עולה, היכן שהיא שלילית הפונקציה יורדת. בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן: מחיובי לשלילי זו נקודת מקסימום, משלילי לחיובי נקודת מינימום.

כדי לחקור פונקציה מוצאים את תחום ההגדרה, את נקודות החיתוך עם הצירים, את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה. בתחום סגור, הערך הגדול ביותר נמצא בנקודת קיצון או באחד הקצוות.

**טיפ:** כשהנגזרת מתאפסת, בדקו את הסימן שלה משני הצדדים. אפס לבד עוד לא אומר שיש קיצון.

## מה לומדים בנושא

### קצב שינוי ממוצע

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −4x + 6 . מצאו את קצב השינוי הממוצע שלה בקטע −2 ≤ x ≤ 0 .
- תשובה: −4
- פתרון: f(0) = 6 f(−2) = 14 (6 − 14) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4 לפונקציה קווית יש קצב קבוע בכל קטע: השיפוע שלה.

### הנגזרת בנקודה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 5 . מצאו את f′(2) .
- תשובה: −6
- פתרון: גוזרים כל איבר: f′(x) = −6x + 6 f′(2) = −6 · 2 + 6 = −6

### כללי הגזירה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −4x² + 8x − 7 . מצאו את הנגזרת שלה.
- תשובה: −8x + 8
- פתרון: גוזרים כל איבר בנפרד: f′(x) = −8x + 8

### גזירה של פונקציה מורכבת

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (2x + 5)² . מצאו את הנגזרת שלה.
- תשובה: 8x + 20
- פתרון: גוזרים את הריבוע, וכופלים בנגזרת של הביטוי שבסוגריים: f′(x) = 2(2x + 5) · 2 = 8x + 20

### משיק לגרף

- דוגמה: מצאו את השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 5 בנקודה שבה x = 0 .
- תשובה: 6
- פתרון: f′(x) = −6x + 6 m = f′(0) = −6 · 0 + 6 = 6

### נקודות קיצון

- דוגמה: מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) = x² − 6x + 4 .
- תשובה: (3, −5)
- פתרון: f′(x) = 2x − 6 = 0 x = 3 כאשר x < 3 הנגזרת שלילית, וכאשר x > 3 היא חיובית. זו נקודת מינימום: f(3) = 3² − 6 · 3 + 4 = −5 (3, −5)

### תחומי עלייה וירידה

- דוגמה: באיזה תחום הפונקציה f(x) = −2x² − 12x עולה ?
- אפשרויות: איקס גדול ממינוס שלוש x > −3 · כל מספר · איקס גדול משלוש x > 3 · איקס קטן ממינוס שלוש x < −3
- תשובה: איקס קטן ממינוס שלוש
- פתרון: f′(x) = −4x − 12 = 0 x = −3 כאשר x < −3 הנגזרת חיובית, וכאשר x > −3 היא שלילית. לכן הפונקציה עולה: x < −3 .

### חיתוך עם הצירים וסימן

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x + 3)²(x − 4) . מצאו את נקודות האפס שלה, הערכים של x שבהם f(x) = 0 .
- תשובה: x = −3 או x = 4
- פתרון: x + 3 = 0 או x − 4 = 0 . לכן x = −3 או x = 4 . בנקודה x = −3 הגורם מופיע בריבוע, ולכן הגרף רק נוגע בציר שם ואינו חוצה אותו.

### גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

- דוגמה: בציור הראשון מופיע הגרף של הפונקציה y = f(x) . איזה מהגרפים שאחריו הוא הגרף של הנגזרת שלה? (הגרף של הפונקציה) גרף א: (גרף א) גרף ב: (גרף ב)
- אפשרויות: גרף א · גרף ב
- תשובה: גרף א
- פתרון: הפרבולה יורדת עד הקודקוד ועולה אחריו. לכן הנגזרת שלילית לפני הקודקוד, שווה ל־0 בקודקוד וחיובית אחריו: ישר עולה שחותך את הציר האופקי כאשר x = 2 . זה גרף א .

### מציאת פרמטר

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + kx . נתון גם f′(3) = −23 . מצאו את k .
- תשובה: −5
- פתרון: f′(x) = −6x + k f′(3) = −6 · 3 + k = −23 −18 + k = −23 k = −5

## עוד לא באתר

- שרטוט סקיצה
- נגזרת שנייה
- גזירה לפי ההגדרה עם גבול
- פונקציה מורכבת ביותר משני שלבים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)