גאומטריה אנליטית: נקודות וישרים לכיתה י׳ · 4 יח״ל

בנושא גאומטריה אנליטית: נקודות וישרים בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים המרחק בין שתי נקודות, אמצע של קטע, שיפוע של ישר, משוואת ישר, ישרים מקבילים ומאונכים, נקודות חיתוך, ישרים מקבילים לצירים ומצולעים במערכת צירים. המרחק בין שתי נקודות במערכת צירים הוא היתר במשולש ישר זווית: הניצבים הם ההפרש בין שיעורי האיקס וההפרש בין שיעורי הוואי, ולכן המרחק הוא השורש של סכום ריבועי ההפרשים. אמצע של קטע הוא הנקודה ששיעוריה הם הממוצעים של שיעורי הקצוות, וכשיודעים קצה אחד ואת האמצע, מוצאים את הקצה השני: הוא רחוק מהאמצע בדיוק כמו הקצה הראשון, לצד השני.

השיפוע של ישר הוא היחס בין השינוי בוואי לבין השינוי באיקס בין שתי נקודות עליו. ישר עולה שיפועו חיובי, ישר יורד שיפועו שלילי, ישר מקביל לציר האיקס שיפועו אפס, ולישר מקביל לציר הוואי אין שיפוע. משוואת ישר בצורה המפורשת היא וואי שווה שיפוע כפול איקס ועוד שיעור הוואי של נקודת החיתוך עם ציר הוואי; משיפוע ונקודה, או משתי נקודות, מוצאים אותה. שני ישרים מקבילים כשהשיפועים שלהם שווים, וזו הגרסה האנליטית של אקסיומת המקבילים. שני ישרים מאונכים כשמכפלת השיפועים שלהם היא מינוס אחת. נקודת החיתוך של שני ישרים היא הפתרון של מערכת המשוואות שלהם, ונקודת החיתוך עם ציר מתקבלת כשמציבים אפס במקום המשתנה השני.

טיפ: שרטטו את הנקודות לפני שמחשבים: שרטוט קטן מראה אם השיפוע חיובי או שלילי ואם התשובה סבירה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

המרחק בין שתי נקודות

לדוגמה: נתונות הנקודות A(−6, 8), B(−6, −7) . מהו המרחק ביניהן?

תשובה ופתרון

התשובה: 15

הקטע מקביל לאחד הצירים, ולכן המרחק הוא פשוט ההפרש בין השיעורים שמשתנים: AB = 15 .

אמצע של קטע

לדוגמה: נתונות הנקודות A(−6, 8), B(−6, 0) . מהם השיעורים של אמצע הקטע שמחבר אותן?

תשובה ופתרון

התשובה: (−6, 4)

שיעור האיקס של האמצע הוא (−6 + (−6)) : 2 = −6 , ושיעור הוואי שלו הוא (8 + 0) : 2 = 4 . לכן M(−6, 4) .

שיפוע של ישר

לדוגמה: ישר עובר בנקודות A(−6, 7), B(−9, −2) . מהו השיפוע של הישר?

תשובה ופתרון

התשובה: 3

השיפוע הוא (−2 − 7) : (−9 − (−6)) , כלומר −9 : (−3) = 3 .

משוואת ישר

לדוגמה: השיפוע של ישר הוא −4 , והוא חותך את ציר הוואי בנקודה (0, 8) . מהי משוואת הישר?

תשובה ופתרון

התשובה: −4x + 8

משוואת הישר היא y = −4x + 8 .

ישרים מקבילים ומאונכים

לדוגמה: נתונים הישרים y = −2x + 6, y = −2x . מה נכון לגבי שני הישרים?

תשובה ופתרון

התשובה: הישרים מקבילים

השיפועים הם −2 וגם −2 . השיפועים שווים והמספרים החופשיים שונים, ולכן הישרים מקבילים.

נקודות חיתוך

לדוגמה: נתון הישר y = −3x − 12 . מהי נקודת החיתוך שלו עם ציר האיקס?

תשובה ופתרון

התשובה: (−4, 0)

מציבים אפס במקום הוואי: 0 = −3x − 12 , ולכן x = 12 : (−3) = −4 , ונקודת החיתוך היא (−4, 0) .

ישרים מקבילים לצירים

לדוגמה: איזו משוואה מתארת את הישר שעובר בנקודות A(−5, 8), B(−5, −6) ?

תשובה ופתרון

התשובה: איקס שווה מינוס חמש

לשתי הנקודות אותו שיעור איקס, ולכן הישר מקביל לציר הוואי: x = −5 .

מצולעים במערכת צירים

לדוגמה: נתון המשולש A(−5, 6), B(−3, 6), C(0, 7) . מצאו את השטח שלו.

תשובה ופתרון

התשובה: 1

הבסיס AB = −3 − (−5) = 2 והגובה 7 − 6 = 1 ולכן השטח הוא: 2 · 1 : 2 = 1

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחות אנליטיות · משוואת מעגל · שרטוט ישר על דף.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←