# גאומטריה אנליטית: נקודות וישרים לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> גאומטריה אנליטית: נקודות וישרים לכיתה י׳ · 4 יח״ל: המרחק בין שתי נקודות, אמצע של קטע, שיפוע של ישר ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא גאומטריה אנליטית: נקודות וישרים בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים המרחק בין שתי נקודות, אמצע של קטע, שיפוע של ישר, משוואת ישר, ישרים מקבילים ומאונכים, נקודות חיתוך, ישרים מקבילים לצירים ומצולעים במערכת צירים.

המרחק בין שתי נקודות במערכת צירים הוא היתר במשולש ישר זווית: הניצבים הם ההפרש בין שיעורי האיקס וההפרש בין שיעורי הוואי, ולכן המרחק הוא השורש של סכום ריבועי ההפרשים. אמצע של קטע הוא הנקודה ששיעוריה הם הממוצעים של שיעורי הקצוות, וכשיודעים קצה אחד ואת האמצע, מוצאים את הקצה השני: הוא רחוק מהאמצע בדיוק כמו הקצה הראשון, לצד השני.

השיפוע של ישר הוא היחס בין השינוי בוואי לבין השינוי באיקס בין שתי נקודות עליו. ישר עולה שיפועו חיובי, ישר יורד שיפועו שלילי, ישר מקביל לציר האיקס שיפועו אפס, ולישר מקביל לציר הוואי אין שיפוע. משוואת ישר בצורה המפורשת היא וואי שווה שיפוע כפול איקס ועוד שיעור הוואי של נקודת החיתוך עם ציר הוואי; משיפוע ונקודה, או משתי נקודות, מוצאים אותה.

שני ישרים מקבילים כשהשיפועים שלהם שווים, וזו הגרסה האנליטית של אקסיומת המקבילים. שני ישרים מאונכים כשמכפלת השיפועים שלהם היא מינוס אחת. נקודת החיתוך של שני ישרים היא הפתרון של מערכת המשוואות שלהם, ונקודת החיתוך עם ציר מתקבלת כשמציבים אפס במקום המשתנה השני.

**טיפ:** שרטטו את הנקודות לפני שמחשבים: שרטוט קטן מראה אם השיפוע חיובי או שלילי ואם התשובה סבירה.

## מה לומדים בנושא

### המרחק בין שתי נקודות

- דוגמה: נתונות הנקודות A(−6, 8), B(−6, −7) . מהו המרחק ביניהן? (שתי נקודות במערכת צירים, והקטע שמחבר אותן.)
- תשובה: 15
- פתרון: הקטע מקביל לאחד הצירים, ולכן המרחק הוא פשוט ההפרש בין השיעורים שמשתנים: AB = 15 .

### אמצע של קטע

- דוגמה: נתונות הנקודות A(−6, 8), B(−6, 0) . מהם השיעורים של אמצע הקטע שמחבר אותן? (קטע במערכת צירים, וקצותיו מסומנים.)
- תשובה: (−6, 4)
- פתרון: שיעור האיקס של האמצע הוא (−6 + (−6)) : 2 = −6 , ושיעור הוואי שלו הוא (8 + 0) : 2 = 4 . לכן M(−6, 4) .

### שיפוע של ישר

- דוגמה: ישר עובר בנקודות A(−6, 7), B(−9, −2) . מהו השיפוע של הישר? (שתי נקודות במערכת צירים, והישר שעובר בהן.)
- תשובה: 3
- פתרון: השיפוע הוא (−2 − 7) : (−9 − (−6)) , כלומר −9 : (−3) = 3 .

### משוואת ישר

- דוגמה: השיפוע של ישר הוא −4 , והוא חותך את ציר הוואי בנקודה (0, 8) . מהי משוואת הישר?
- תשובה: −4x + 8
- פתרון: משוואת הישר היא y = −4x + 8 .

### ישרים מקבילים ומאונכים

- דוגמה: נתונים הישרים y = −2x + 6, y = −2x . מה נכון לגבי שני הישרים?
- אפשרויות: הישרים מקבילים · הישרים מתלכדים · הישרים נחתכים, אבל אינם מאונכים · הישרים מאונכים
- תשובה: הישרים מקבילים
- פתרון: השיפועים הם −2 וגם −2 . השיפועים שווים והמספרים החופשיים שונים, ולכן הישרים מקבילים.

### נקודות חיתוך

- דוגמה: נתון הישר y = −3x − 12 . מהי נקודת החיתוך שלו עם ציר האיקס?
- תשובה: (−4, 0)
- פתרון: מציבים אפס במקום הוואי: 0 = −3x − 12 , ולכן x = 12 : (−3) = −4 , ונקודת החיתוך היא (−4, 0) .

### ישרים מקבילים לצירים

- דוגמה: איזו משוואה מתארת את הישר שעובר בנקודות A(−5, 8), B(−5, −6) ? (שתי נקודות במערכת צירים, והישר שעובר בהן.)
- אפשרויות: איקס שווה שמונה x = 8 · וואי שווה מינוס חמש y = −5 · וואי שווה מינוס שש y = −6 · איקס שווה מינוס חמש x = −5
- תשובה: איקס שווה מינוס חמש
- פתרון: לשתי הנקודות אותו שיעור איקס, ולכן הישר מקביל לציר הוואי: x = −5 .

### מצולעים במערכת צירים

- דוגמה: נתון המשולש A(−5, 6), B(−3, 6), C(0, 7) . מצאו את השטח שלו. (משולש במערכת צירים, ובסיס אחד שלו מקביל לציר האיקס.)
- תשובה: 1
- פתרון: הבסיס AB = −3 − (−5) = 2 והגובה 7 − 6 = 1 ולכן השטח הוא: 2 · 1 : 2 = 1

## עוד לא באתר

- הוכחות אנליטיות
- משוואת מעגל
- שרטוט ישר על דף

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)